3次式が素数になる条件（2024年東京大学前期理系数学第6問）

（１）

$f(n)=n(n^2 + 10n + 20)$ より、$f(n)$が素数となるならば、次の4つの場合が考えられる。

（I）$n=1$ のとき $n^2 + 10n + 20=31$ より $f(n)=31$ となって素数になるので適する。

（II）$n=-1$ のとき $n^2 + 10n + 20=11$ となり、$f(n)=-11$ となって不適。

（III）$n$ が素数のとき $n^2 + 10n + 20=1$ となる必要がある。しかしこのとき $n=-5 \pm \sqrt{6}$ となって$n$が素数にならないので不適。

（IV）$n$ が素数の$(-1)$倍のとき $n^2 + 10n + 20=-1$ となる必要があるが、このとき $n=-3, -7$ となって$n$が素数の$(-1)$倍になるので適する。

以上より、求める整数$n$は$$\color{red}{n=1,-3,-7}$$であり、このとき$f(n)$はそれぞれ$31$、$3$、$7$となり確かに素数となる。

（２）

$g(n)=n(n^2 + an + b)$ より、$g(n)$の値が素数になる場合は、次の4つの場合に限られる。

（ア）$n=1$ かつ $n^2+an+b$ が素数であるとき

（イ）$n=-1$ かつ $n^2+an+b=-p$ が素数の$(-1)$倍であるとき

（ウ）$n$ が素数 かつ $n^2+an+b=1$ のとき

（エ）$n$ が素数の$(-1)$倍 かつ $n^2+an+b=-1$ のとき

まず、

「（$\clubsuit$）：（ウ）と（エ）の両方を満たすような整数組$(a,b)$が存在しないこと」

を示す。

$p$、$q$を素数とする。$n=p$ かつ $n^2+an+b=1$ のとき、$$p^2+ap+b=1 \ \cdots ①$$となり、$n=-q$ かつ $n^2+an+b=-1$ のとき、$$q^2-aq+b=-1 \ \cdots ②$$となる。$①-②$ より、$$(p-q+a)(p+q)=2 \ \cdots ③$$を得る。いま、$p$、$q$は素数であるから $p+q \geqq 2+2=4$ となるため、$p-q+a$ が整数であることから$③$を満たすような素数$p$、$q$および整数$a$の組は存在しない。よって（$\clubsuit$）が示された。

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したがって、$g(n)$の値が素数になるような整数$n$が$4$個以上存在するとしたら、

「（$\spadesuit$）：（ア）と（イ）と（ウ）が同時に満たされる」

もしくは

「（$\heartsuit$）：（ア）と（イ）と（エ）が同時に満たされる」

のいずれかの場合であり、このとき条件を満たす整数$n$の個数は高々$4$個となる。

まず（$\spadesuit$）の場合を考える。（ウ）のとき、$n^2+an+b=1$ を満たすような素数$n$が2個存在するとする。つまり、$$\begin{cases} p^2+ap+b=1 \\ q^2+aq+b=1 \end{cases}$$が成り立つような2つの異なる素数$p$、$q$が存在するとする。これらの式の辺々の差を取ると$$(p-q)(p+q+a)=0 \ \cdots ④$$となるが、$p \ne q$ より $p+q+a=0$ の場合に限られる。

ここで、（ア）、（イ）より $1+a+b$ および $-1+a-b$ は素数となるから正である。ゆえにこれらの和 $2a$ も正となるから $a>0$ が成り立つ。したがって $p+q+a>0$ となるから$④$を満たすような2つの異なる素数$p$、$q$は存在しない。よって（$\spadesuit$）が成立するとき、$g(n)$の値が素数になるような整数$n$の個数は高々$3$個となることが示された。

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次に（$\heartsuit$）の場合を考える。（エ）のとき、$n^2+an+b=-1$ を満たすような素数$n$が2個存在するとする。つまり、$$\begin{cases} r^2+ar+b=-1 \\ s^2+as+b=-1 \end{cases}$$が成り立つような2つの異なる素数$r$、$s$が存在するとする。これらの式の辺々の差を取ると$$(r-s)(r+s+a)=0$$となるが、$r \ne s$ より $r+s+a=0$ の場合に限られる。

しかしこの場合でも先ほどの議論と同様にして、$g(n)$の値が素数になるような整数$n$の個数は高々$3$個となることが示される。

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以上より、$g(n)$が素数となるような整数$n$の個数は$3$個以下であることが示された。

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