昨日に引き続き、方程式 a2 + b2 + c2 = d2 を満たす整数組の剰余に関する問題を取り上げます。
《問題》
正の整数 $a$、$b$、$c$、$d$ が等式 $a^2+b^2+c^2=d^2$ を満たすとする。
（１）$d$が$3$の倍数でないならば、$a$、$b$、$c$ の中に$3$の倍数がちょうど２つあることを示せ。
（２）$d$が$2$の倍数でも$3$の倍数でもないならば、$a$、$b$、$c$ のうち少なくとも１つは$6$の倍数であることを示せ。
（一橋大学1994年 後期第1問）
《考え方》
前回紹介した横浜国立大の類題ですが出題年はこちらの方が古いです。左辺と右辺の剰余が等しくなるような組が限られることを示すだけなので、合同式を使っても良いですが今回は式だけで証明してみます。
解答例
（１）
$d$が$3$の倍数でないとき、$d=3k \pm 1$（$k$は整数）と置けるから、$$d^{2}=3\left(3 k^{2} \pm 2 k\right)+1$$となる。
また、整数 $l$、$m$、$n$ を用いて$a=3 l+p$、$b=3 m+q$、$c=3 n+r$（ただし $p,q,r=0,\pm1$）と置けば、
$$\small \begin{aligned} a^{2}+b^{2}+c^{2}=3&\left\{3 \left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\right. \\ & +2(l p+m q+n r)\}+p^{2}+q^{2}+r^{2} \end{aligned}$$となるから$$p^{2}+q^{2}+r^{2}=1$$となる。$p^2,q^2,r^2$は$0$または$1$であるから、これを満たす組$(p,q,r)$のうち２つは$3$の倍数である。したがって、$a$、$b$、$c$ の中に$3$の倍数がちょうど２つある。
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（２）
$d$が$2$の倍数でないとき、$d=2j + 1$（$j$は整数）と置けるから、$$d^{2}=4\left(j^{2}+j\right)+1$$となる。
また、整数 $L$、$M$、$N$ を用いて$a=2L+P$、$b=2M+Q$、$c=2N+R$（ただし $P,Q,R=0$ または $1$）と置けば、（１）と同様にして$$P^2+Q^2+R^2=1$$を得る。これより $P,Q,R$ のうち２つが$0$であるから、$a$、$b$、$c$ のうち少なくとも２つが$2$の倍数となる。
（１）の結果より、$a$、$b$、$c$ の中に$3$の倍数がちょうど２つあり、$2$の倍数もちょうど２つある。故に、$a$、$b$、$c$ のうち少なくとも１つは$6$の倍数である。
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