# ケンブリッジ大学の入試数学を解説する（STEP2019 MATH1 §A p2）

### 《問題》

The curve $C$ is given parametrically by the equations $x = 3t^2$, $y = 2t^3$. Show that the equation of the tangent to $C$ at the point $(3p^2 , 2p^3)$ is $y = px − p^3$.

Find the point of intersection of the tangents to $C$ at the distinct points $(3p^2 , 2p^3)$ and $(3q^2 , 2q^3)$. Hence show that, if these two tangents are perpendicular, their point of intersection is $(u^2 + 1, −u)$, where $u = p + q$.

The curve $\tilde{C}$ is given parametrically by the equations $x = u^2 + 1$, $y = −u$. Find the coordinates of the points that lie on both $C$ and $\tilde{C}$. Sketch $C$ and $\tilde{C}$ on the same axes.

（STEP2019 MATHⅠ §A p2）

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### 接線について

$$\small \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\dfrac{d}{d t}\left(2 t^{3}\right)}{\dfrac{d}{d t}\left(3 t^{2}\right)}=\dfrac{6 t^{2}}{6 t}=t$$ より、点 $\mathrm{P}(3p^2 , 2p^3)$ における接線の傾きは $p$ となる。このとき接線の方程式は$$y-2 p^{3}=p\left(x-3 p^{2}\right)$$つまり$$y=p x-p^{3}$$となる。

### ２接線の交点について

$y=p x-p^{3}$ と $y=q x-q^{3}$ が交点を持つとき、$$p x-p^{3}=q x-q^{3}$$ $$\therefore x=\left(p^{3}-q^{3}\right)$$が成り立ち、$p \ne q$ より$$\begin{cases} x=p^{2}+p q+q^{2} \\ y=p q(p+q) \end{cases} \quad \cdots (*)$$と表せる。

いま２つの接線が直交するから、$p q=-1$ であり、このとき$$\small u=p-\dfrac{1}{p},\, u^{2}=p^{2}+\dfrac{1}{p^{2}}-2$$となるから$(*)$より\small \begin{align} P&=\left(p^{2}+\frac{1}{p^{2}}-1,\,-1 \cdot \left(p-\frac{1}{p}\right)\right) \\ &=\left(u^{2}+1,-u\right) \end{align}となる。