ランダウの記号と漸近展開の2通りの求め方(漸近展開の合成)

今回は大学初年度の数学で登場するランダウの記号と漸近展開について扱います。漸近展開を簡単に求める方法に関する備忘録です。



ランダウの記号のおさらい

ランダウの記号とは $x=0$ や $x=\infty$ 付近での関数の挙動を評価する記号です。オーダーの評価にあたっては以下のことに注意しましょう。

・増減量が膨大or微小な項は無視する

・係数は無視する(オーダーにのみ注目する)

以下、表記法の意味について大雑把に説明していきます。

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ビッグオー(ラージオー)表記:$f(x)=O(g(x))$

これは

関数$f(x)$の発散のスピードが$g(x)$と同じくらいか、それより遅い

という意味です。より正確には、

$x>x_0$ なら $|f(x)|≤C|g(x)|$ となるような定数$x_0$、$C$が存在する

ということを意味しています。ビッグオー記号は以下のように使います。

使用例

 

$2x^3=O(x^3)$

 

$52x^6+x^5+1000x+4=O(x^6)$

 

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+O(x^3)$

 

なお、この定義に基づけば$$x^3+x^2+1=O(x^4)$$などという評価の仕方も間違いではありません。

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スモールオー(リトルオー)表記:$f(x)=o(g(x))$

$x=a$ 近傍で定義された関数$f(x)$、$g(x)$に対して、$$\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$$が成り立つとき、$$f(x)=o(g(x))\ \ \ (x \to a)$$と書きます。

$x \to 0$ の場合を考えることが多いので、単に$$f(x)=o(g(x))$$とだけ書かれることがあります。これは

$x \to 0$ のとき$g(x)$が$0$に近づくスピードは$f(x)$よりも速い

ということを意味しています。スモールオー記号は以下のように使います。

使用例

 

$2x^3=o(x)$

 

$2x^3=o(x^2)$

 

$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$

 

例えば$$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x-x}{x^2}$$なので、$$\sin x  -x=o(x^2) \ \ \ (x \to 0)$$と書き表せます。

 


漸近展開のおさらい

ある関数$f(x)$に対して $x=a$ の近くで定義された関数列(漸近関数列)$\{g_0(x),g_1(x),g_2(x),\cdots\}$ があって$$f(x)=\sum^{n}_{k=0}c_k g_k(x)+R_n(x)$$(ただし $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{g_{k+1}(x)}{g_{k}(x)}=0$、$\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{R_{n}(x)}{g_{n}(x)}=0$)と表すとき、$f(x)$を漸近展開すると言います。

ここで関数列について、任意の負でない整数$n$について$$g_{n+1}(x)=o(g_n(x))\ \ \ (x \to a)$$が成り立っているとき、この関数列を漸近関数列と呼びます。ただし大抵は$x$の多項式で展開することになるので、実用上はあまり難しく考えなくて良いと思います。

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漸近展開をマクローリン展開に応用してみます。$x \to a$ の部分を $x \to 0$ とすれば、漸近展開の表式は有限次の項で打ち切られたマクローリン展開に相当します。テイラー展開やマクローリン展開における剰余項をランダウの記号で表します。

漸近展開

 

ランダウの記号を用いて$$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+o(x^n) \ \ (x \to 0)$$と表すことを漸近展開という。

 

これにより例えば、$$\log (1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)$$のように表すことができます($x^2$の項で打ち切った式)。勿論ラージオー記号も使うことができて、これを使うと$$\log (1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^2+O(x^3)$$となりますが、マクローリン展開における剰余項は微小なので普通はスモールオー記号が用いられます。

大雑把な印象としては

ラージオー記号$O(x)$は大きい項(発散級数)をまとめる

スモールオー記号$o(x)$は小さい項(微小項)をまとめる

という捉え方で良いと思います。

それでは実際に漸近展開を求めてみましょう!

 


漸近展開の求め方①:愚直に微分

ここでは$$f(x)=e^{\sin 2x}$$を$x^4$の項まで漸近展開してみます。

まずは愚直に微分していく方法で漸近展開を行ってみます。

$f^{(1)}(x)=2 e^{\sin 2x} \cos 2x$

$f^{(2)}(x)=4 e^{\sin 2x} (\cos^2 2x – \sin 2x)$

$f^{(3)}(x)=8 e^{\sin 2x} \cos 2x (\cos^2 2x -3 \sin 2x – 1)$

$f^{(4)}(x)=16 e^{\sin 2x} \{\sin 2x (3 \sin 2x + 1) + \cos^4 2x – 2 (3 \sin 2x + 2) \cos^2 2x \}$

となるので、$f^{(1)}(0)=2$、$f^{(2)}(x)=4$、$f^{(3)}(x)=0$、$f^{(4)}(0)=-48$ と求められ、これより$$e^{\sin 2x}=1+\dfrac{2}{1!}x+\dfrac{4}{2!}x^2+0-\dfrac{48}{4!}x^4+o(x^4)$$ $$\therefore e^{\sin 2x}=\color{red}{1+2x+2x^2-2x^4+o(x^4)}$$を得ます。

この方法はごく一般的な方法ですが、計算量がやや多く、ケアレスミスをしてしまう可能性があります。

 


漸近展開の求め方②:漸近展開を合成

今度は「漸近展開を合成する」という別の方法で求めてみます。

$e^x$と$\sin 2x$の$x^4$の項まで漸近展開はそれぞれ

$$e^{x}=1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{24}x^4+o(x^4)$$

$$\sin 2x=(2x)^2-\dfrac{1}{6}(2x)^3+o(x^4)$$

となりますので、$e^{\sin 2x}$を求めるためには$\sin 2x$の展開式を$e^x$の展開式に代入して$x^4$の項まで計算すれば良さそうです。

ということで早速代入してみましょう。計算途中で$x^5$以上の項が出てきますが、これはすべて$o(x^4)$にまとめながら計算を進めていきます。

$$\begin{align}& \ \ \ \ \ e^{\sin 2x} \\ &=1+\left\{(2x)^2-\dfrac{1}{6}(2x)^3+o(x^4)\right\} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\dfrac{1}{2}\left\{(2x)^2-\dfrac{1}{6}(2x)^3+o(x^4)\right\}^2 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\dfrac{1}{6}\left\{(2x)^2-\dfrac{1}{6}(2x)^3+o(x^4)\right\}^3 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\dfrac{1}{24}\left\{(2x)^2-\dfrac{1}{6}(2x)^3+o(x^4)\right\}^4+o(x^4) \\ &= 1+2x-\dfrac{4}{3}x^3+o(x^4)+\dfrac{1}{2}\left\{4x^2+o(x^4)\right\} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\dfrac{1}{6}\left\{8x^3+o(x^4)\right\}+\dfrac{1}{24}\left\{16x^4+o(x^4)\right\} \\ &= 1+2x-\dfrac{4}{3}x^3+2x^2-\dfrac{8}{3}x^3+\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{2}{3}x^4+o(x^4) \\ &= \color{red}{1+2x+2x^2-2x^4+o(x^4)} \end{align}$$

この方法は見た目こそ複雑そうに見えますが、括弧内をすべて計算する必要は無いので、実際の計算はそこまで大変ではありません。合成関数の漸近展開を求める際は非常に有効です。今回は4次の項までの展開ですが、この方法だとそれ以上の高次の項まで比較的簡単に求められます。

 


演習例題

以下の与えられた関数$f(x)=$に対して、$x^4$の項までの漸近展開を求めてみましょう。上記2通りの方法を比較してみて下さい!

 

(1)$f(x)=\dfrac{1}{\sin^2 x+1}$

» 答え合わせ

4次までの漸近展開は$$f(x)=\color{red}{1-x^2 + \dfrac{4 x^4}{3}+o(x^4)}$$です。

※ $\dfrac{1}{x^2+1}$ と $\sin x$ の合成関数

» 閉じる

 

(2)$f(x)=\sqrt{\cos 2x+x^2}$

» 答え合わせ

4次までの漸近展開は$$f(x)=\color{red}{1-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}+o(x^4)}$$です。

※ $\sqrt{x}$ と $\cos 2x+x^2$ の合成関数

» 閉じる

 

(3)$f(x)=\log(2+\sin x)$

» 答え合わせ

4次までの漸近展開は$$f(x)=\color{red}{\log 2 +\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{x^3}{24}+\dfrac{5x^4}{192}+o(x^4)}$$です。

※ $\log(2+x)$ と $\sin x$ の合成関数

» 閉じる

 


(コメント)

合成関数の漸近展開を求める際、煩雑な微分計算が苦手な方や、より速く計算を済ませたい方は漸近展開の和や積、代入などで求めてしまうのが良いでしょう。そのためにも、基本的な関数のマクローリン展開の表式は事前に覚えておきたいですね。なお、漸近展開の合成が数学的に正当な操作であることはきちんと証明することが可能です。

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