創作整数問題#80解法&創作整数問題#81

日が長くなってきて夏の訪れを感じますね!


創作整数問題#81


《問題#81》

ある整数に対して各位の数を反転させてできる数を「逆順数」と呼ぶことにする。例えば$2021$の逆順数は$1202$であり、$2020$の逆順数は$202$である。このとき、自身とその逆順数がともに$81$で割り切れるような最小の正の整数を求めよ。

(創作問題)


小さい桁の場合について調べてみると解決の糸口が掴めると思います。

 

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答えは $\color{red}{999999999}$ です。余裕のある人は2番目に小さい数も求めてみて下さい。

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創作整数問題#80(解き方)


小学生の太郎くんは、$4$歳の妹と両親と祖父母の$6$人家族で暮らしています。太郎くんのお父さんはお母さんより$5$歳だけ年上で、お爺ちゃんとお婆ちゃんの年齢は同じです。いま、家族全員の年齢を合計すると$231$歳でした。

それからちょうど数年が経った$2021$年、太郎くんの年齢は$2$倍になり、お爺ちゃんとお婆ちゃんは$80$歳になりました。また、太郎君の年齢にある整数を掛けるとお父さんの年齢になり、妹の年齢に別のある整数を掛けてもお父さんの年齢になりました。

このとき、$2021$年時点における太郎くんの年齢を求めてください。ただし、年齢は全く同じ日に計算しているものとします。


各人の年齢を文字で置いて連立方程式を解くだけです。

解答例

 

問題文に与えられた条件を踏まえると、太郎くんの家族の年齢は以下のように置くことができる。

 

太郎 祖父母
初年 $4$ $A$ $B$ $B+5$ $C$
2021年 $4+A$ $2A$ $A+B$ $A+B+5$ $80$

初年の時点で家族全員の年齢の合計が$231$歳であることから、$$4+A+B+(B+5)+C+C=231$$ $$\therefore A+2B+2C=222 \quad \cdots ①$$を得る。

 

2021年における祖父母の年齢は$80$歳なので、経過年数が$A$であることから$$A+C=80 \quad \cdots ②$$を得る。

 

また$p$、$q$を $p \geqq q$ を満たす正の整数として、父親の年齢が妹の年齢の$p$倍、太郎くんの年齢の$q$倍であるとすると、$$\begin{cases} A+B+5=p(A+4) \quad \cdots ③ \\ A+B+5=q \cdot 2A \quad \cdots ④ \end{cases}$$が成り立つ。$③$と$④$より$$p(A+4)=2qA$$ $$\therefore (2q-p)A=4p$$となるから、$2q-p>0$ の条件および$$\therefore A=\dfrac{4p}{2q-p} \quad \cdots ⑤$$を得る。$④$と$⑤$より$$\begin{align} B &= (2q-1)A-5 \\ &=\dfrac{4p(2q-1)}{2q-p}-5 \quad \cdots ⑥ \end{align}$$が得られ、$②$と$⑤$より$$C=80-\dfrac{4p}{2q-p} \quad \cdots ⑦$$が得られる。$⑤$、$⑥$、$⑦$を$①$へ代入して整理すると、$$\dfrac{p(4q-3)}{2q-p}=18$$ $$\therefore 4pq+15p-36q=0$$ $$\therefore q=\dfrac{15p}{4(9-p)} \ (0<p<9)$$を得る。これより、$p$の値に対応する$q$の値は以下の表のようになる。$$\small \begin{array}{c|cccccccccccc}
p & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline q & \dfrac{15}{32} & \dfrac{15}{14} & \dfrac{15}{8} & 3 & \dfrac{75}{16} & \dfrac{15}{2} & \dfrac{105}{8} & 30
\end{array}$$ $p$、$q$は $p \geqq q$ を満たすから$$p=4,\,q=3$$の場合に限られる。したがって$⑤$、$⑥$、$⑦$より、$$A=8,\,B=35,\,C=72$$を得る。

 

以上より、$2021$年時点における太郎くんの年齢は$$\color{red}{16}$$と求められる。

 


 

設定は少し珍しいかもしれませんが、完答は難しくない問題だったと思います。未知数に対して得られる方程式が1本足りていませんが「整数」というのが隠れた条件になっています。上の解答例では最後に「$p$と$q$が正の整数である」という条件を満たすパターンを調べて処理しています。

ヒントから年齢を当てていく問題はパズル本などで時々見掛けることがありますが、本問の難度はどのくらいのレベルに相当するんでしょうか・・・?

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