創作整数問題#80解法＆創作整数問題#81

解答例

問題文に与えられた条件を踏まえると、太郎くんの家族の年齢は以下のように置くことができる。

初年の時点で家族全員の年齢の合計が$231$歳であることから、$$4+A+B+(B+5)+C+C=231$$ $$\therefore A+2B+2C=222 \quad \cdots ①$$を得る。

2021年における祖父母の年齢は$80$歳なので、経過年数が$A$であることから$$A+C=80 \quad \cdots ②$$を得る。

また$p$、$q$を $p \geqq q$ を満たす正の整数として、父親の年齢が妹の年齢の$p$倍、太郎くんの年齢の$q$倍であるとすると、$$\begin{cases} A+B+5=p(A+4) \quad \cdots ③ \\ A+B+5=q \cdot 2A \quad \cdots ④ \end{cases}$$が成り立つ。$③$と$④$より$$p(A+4)=2qA$$ $$\therefore (2q-p)A=4p$$となるから、$2q-p>0$ の条件および$$\therefore A=\dfrac{4p}{2q-p} \quad \cdots ⑤$$を得る。$④$と$⑤$より$$\begin{align} B &= (2q-1)A-5 \\ &=\dfrac{4p(2q-1)}{2q-p}-5 \quad \cdots ⑥ \end{align}$$が得られ、$②$と$⑤$より$$C=80-\dfrac{4p}{2q-p} \quad \cdots ⑦$$が得られる。$⑤$、$⑥$、$⑦$を$①$へ代入して整理すると、$$\dfrac{p(4q-3)}{2q-p}=18$$ $$\therefore 4pq+15p-36q=0$$ $$\therefore q=\dfrac{15p}{4(9-p)} \ (0<p<9)$$を得る。これより、$p$の値に対応する$q$の値は以下の表のようになる。$$\small \begin{array}{c|cccccccccccc}
p & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline q & \dfrac{15}{32} & \dfrac{15}{14} & \dfrac{15}{8} & 3 & \dfrac{75}{16} & \dfrac{15}{2} & \dfrac{105}{8} & 30
\end{array}$$ $p$、$q$は $p \geqq q$ を満たすから$$p=4,\,q=3$$の場合に限られる。したがって$⑤$、$⑥$、$⑦$より、$$A=8,\,B=35,\,C=72$$を得る。

以上より、$2021$年時点における太郎くんの年齢は$$\color{red}{16}$$と求められる。