創作整数問題#81解法&創作整数問題#82

このところ全国各地で局所的な大雨が多発していますが、そろそろ梅雨明けの兆しも見えてきました。管理人は日頃の運動不足が祟り、本格的な夏を前にスタミナ切れしそうです…(笑)

世間を見渡せば、コロナ禍が収束していない中での五輪開催が目前に迫っており、近年稀に見るごたごたが繰り広げられています。ワクチン接種が進んでいるとはいえ、このところワクチン供給が滞っている上に、ギリシャ文字の不足が心配される勢いで変異株が猛威を振るっており、新型コロナウイルスによる影響のさらなる長期化は避けられそうにありません。残念ですが、落ち着いた日常が戻ってくるまで今しばらく掛かりそうです。


創作整数問題#82


《問題#82》

$\log_{10}(8^a+2^b)$が整数となるような正の整数組$(a,\,b)$をすべて求めよ。

(創作問題)


$\log_{10}(n)$が整数となるには$n$が$10$の冪乗になっていることが必要ですが、このことの証明は簡単ですね。その後は場合分けして整数組を求めればOKです。

 

» 答えはこちら

答えは $\color{red}{(a,\,b)=(1,\,1)}$ です。

» 閉じる


創作整数問題#81(解き方)


ある整数に対して各位の数を反転させてできる数を「逆順数」と呼ぶことにする。例えば$2021$の逆順数は$1202$であり、$2020$の逆順数は$202$である。このとき、自身とその逆順数がともに$81$で割り切れるような最小の正の整数を求めよ。


元の整数と逆順数の和に着目します。これによって統一的な倍数判定が可能となり、必要条件から攻略できます。

解答例

 

以下、合同式の法は特に断りの無い限り$81$とする。$10^{n}$($n$は非負整数)を$81$で割った余りを調べると以下のようになる。$$\small \begin{array}{l} \begin{array}{c|cccccc}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline 10^{n} & 1 & 10 & 19 & 28 & 37 & 46
\end{array} \\ \begin{array}{c|cccc}
n & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline 10^{n} & 55 & 64 & 73 & 82\,(\equiv 1) \end{array}
\end{array}$$以下、求める整数を$N$と表す。

 

$N$の桁数を $n+1$ として、$1$桁の非負整数$a_i\ (i=0,1,2,\cdots,n)$を用いて$$\small N=a_0+10a_1+10^2 a_2+\cdots+10^n a_n$$と表すことにする。ただし $a_n \ne 0$ とする。このとき$N$の逆順数$\hat{N}$は$$\small \hat{N}=a_{n}+10a_{n-1}+10^2 a_{n-2}+\cdots+10^n a_0$$となる。

 

$n=0,\,1$ のとき$N$と$\hat{N}$がともに$81$で割り切れることはない。

 

$n=2$ のとき、剰余表より、$$\small N \equiv a_0+10a_1+19 a_2$$ $$\small \hat{N} \equiv a_2+10a_1+19 a_0$$となり、辺々加えると$$\begin{align} \small N+\hat{N} & \equiv 20a_0+20a_1+20a_2 \\ &=20(a_0+a_1+a_2)\end{align}$$を得る。仮定より $N+\hat{N}$ は$81$の倍数であるが、$20$と$81$は互いに素だから $a_0+a_1+a_2$ が$81$で割り切れることが必要となる。しかし $a_2 \ne 0$ のもとで$1$桁の非負整数 $a_i\ (i=0,1,2)$ の和が$81$の倍数になることはない。

 

$n=3$ のとき、剰余表より、$$\small N \equiv a_0+10a_1+19a_2+28a_3$$ $$\small \hat{N} \equiv a_3+10a_2+19a_1+28a_0$$となり、辺々加えると$$\small N+\hat{N} \equiv 29(a_0+a_1+a_2+a_3)$$を得る。よって同様に $a_0+a_1+a_2+a_3$ が$81$で割り切れることが必要であるが、そのような係数$a_i$の組は存在せず、これは不可能である。

 

$n=4$ のとき、剰余表より、$$\small N+\hat{N} \equiv 38 \sum^{4}_{k=0}a_k$$を得るが、同様に考えてこの右辺が$81$の倍数になることはない。

 

$n=5$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 47 \sum^{5}_{k=0}a_k$、$n=6$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 56 \sum^{6}_{k=0}a_k$、$n=7$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 65 \sum^{7}_{k=0}a_k$ となるが、いずれの場合も右辺が$81$の倍数になることはない。

 

$n=8$ のとき $\small \displaystyle N+\hat{N} \equiv 74 \sum^{8}_{k=0}a_k$ となるが、$a_0$、$a_1$、・・・、$a_8$のすべてが$9$のとき右辺は$81$の倍数になる。また、右辺が$81$の倍数となるのはその場合に限る。

 

以上より、自身とその逆順数がともに$81$で割り切れるような最小の正の整数は$$\color{red}{999999999}$$と求められる。

 


 

元の数と逆順数をペアにして考えるというのが本問のポイントでした。各位の数字の和が$81$であるような整数が当てはまることを考えると、$9$桁の整数$999999999$が最小であることが分かりますね。別解もお待ちしています。

因みに、自身とその逆順数がともに$81$で割り切れるような正の整数のうちで2番目に小さいものは$1999999998$です。このような整数のうち$10$桁のものは$5407$個存在しています。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です