各種三角関数のマクローリン展開

この記事では各種三角関数のマクローリン展開(x=0におけるテイラー展開)を扱います。20次までの展開式一覧も掲載しています。

 

【三角関数のマクローリン展開】

$\displaystyle \begin{align} \sin x &= \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1} \\ &=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{align}$

$\displaystyle \begin{align} \cos x &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n} \\ &=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \end{align}$

$\displaystyle \begin{align} \tan x &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1} \\ &=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots \end{align}$
($B_n$ はベルヌーイ数)

これより、$\sin x$ を微分すると $\cos x$ になり、$\cos x$ を微分すると $-\sin x$ になることが直感的に見て取れます。

また、展開を打ち切る次数が大きいほど元の関数を正確に表現できます(下図参照)。

図.$\sin x$ のマクローリン展開


【逆三角関数のマクローリン展開】

$$\displaystyle \begin{aligned}\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1} \\ &=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+{\frac {5x^{7}}{112}}+\cdots \\ \arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x \\ &={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1} \\ &={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-{\frac {5x^{7}}{112}}-\cdots \\[6pt]\arctan x &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1} \\ &=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \end{aligned}$$ここで、$\arcsin x=\sin^{-1}x$ のことを指します。他も同様です。


因みに、$\sin x$ と $\cos x$ について展開式の商を展開すると $\tan x\ \left(=\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)$ の展開式が得られます。試しに5次まで計算してみると、$$\dfrac{x}{1-\dfrac{x^{2}}{2}}=\color{red}{x}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{5}}{4}+O\left(x^{6}\right)$$ $$\dfrac{x-\dfrac{x^{3}}{6}}{1-\dfrac{x^{2}}{2}}=\color{red}{x+\dfrac{x^{3}}{3}}+\dfrac{x^{5}}{6}+O\left(x^{6}\right)$$ $$\dfrac{x-\dfrac{x^{3}}{6}}{1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}}=\color{red}{x+\dfrac{x^{3}}{3}}+\dfrac{x^{5}}{8}+O\left(x^{6}\right)$$ $$\dfrac{x-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{5}}{120}}{1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}}=\color{red}{x+\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{2 x^{5}}{15}}+O\left(x^{6}\right)$$となります。証明はしていませんが、$n$次までの展開式の商を展開すると $\tan x$ についても$n$次までの展開式が得られそうです。ただし、実用上は微分で求めた方が速いでしょう。


【$\sin x$ の20次までの展開式】

$\small \begin{align} \sin x &= x-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{5}}{120}-\dfrac{x^{7}}{5040}+\dfrac{x^{9}}{362880} \\ &\quad -\dfrac{x^{11}}{39916800}+\dfrac{x^{13}}{6227020800}-\dfrac{x^{15}}{1307674368000} \\ &\quad +\dfrac{x^{17}}{355687428096000}-\dfrac{x^{19}}{121645100408832000}+O(x^{20}) \end{align}$

【$\cos x$ の20次までの級数展開】

$\small \begin{align} \cos x &= 1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}-\dfrac{x^{6}}{720}+\dfrac{x^{8}}{40320}-\dfrac{x^{10}}{3628800} \\ &\quad +\dfrac{x^{12}}{479001600}-\dfrac{x^{14}}{87178291200}+\dfrac{x^{16}}{20922789888000} \\ &\quad -\dfrac{x^{18}}{6402373705728000}+\dfrac{x^{20}}{2432902008176640000}+O(x^{22}) \end{align}$

【$\tan x$ の20次までの級数展開】

$\small \begin{align} \tan x &= x+\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{2 x^{5}}{15}+\dfrac{17 x^{7}}{315}+\dfrac{62 x^{9}}{2835} \\ &\quad +\dfrac{1382 x^{11}}{155925}+\dfrac{21844 x^{13}}{6081075}+\dfrac{929569 x^{15}}{638512875} \\ &\quad +\dfrac{6404582 x^{17}}{10854718875}+\dfrac{443861162 x^{19}}{1856156927625}+O(x^{20}) \end{align}$

$\sin x$ や $\cos x$ は分母が階乗なので特に書き下す必要はありませんが、$\tan x$ の展開式計算は手計算だとそれなりに骨が折れます。


数Ⅲの問題で「$\cos x \geqq 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}$ を示せ」といったものが出題されることがありますが、この右辺は三角関数のマクローリン展開に由来しています。このような展開表示は三角関数の値の評価に利用できる場面が多いので、大学数学の範囲ですが知識として知っておいて損は無いでしょう!

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