零行列を含むブロック行列の行列式を簡単に求める方法

一般の場合を考えて$$X=\left[\begin{array}{cc}A& O\\ C& D\end{array}\right]=[x_{ij}]$$と置き、$A$は$n$次正方行列、$D$は$m$次正方行列とします。このとき$X$は $s=n+m$ 次正方行列となります。

ここで、行列$X$の行列式は$$(\ast )det(X)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )x_{1\sigma (1)}{x}_{2\sigma (2)}\cdots x_{s\sigma (s)}$$で与えられます。ただし、$n$個の数字の置換全体の集合を$S_n$と置いています。

もとの行列$X$の零行列の部分に注目すると、$1\leqq i\leqq n$ および $n+1\leqq j\leqq s$ のとき $x_{ij}=0$ となるので、$(\ast )$における和は$$\{\sigma (1),\sigma (2),\cdots ,\sigma (n)\}=\{1,2,\cdots ,n\}$$について取れば良いことになります。

このとき、残りの置換について、$$\{\sigma (n+1),\sigma (n+2),\cdots ,\sigma (s)\}=\{n+1,n+2,\cdots ,s\}$$となります。いま、これらの２つの置換を、$$\begin{array}{rl}\tau & =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\end{array}\right)\\ \\ \rho & =\left(\begin{array}{cccc}n+1& n+2& \cdots & s\\ \sigma (n+1)& \sigma (n+2)& \cdots & \sigma (s)\end{array}\right)\end{array}$$と置きます。ただし、$\tau \in S_n$、$\rho \in S_{s-n}$ です。また、元の置換$\sigma$は $\sigma =\tau \rho$ で表すことができます。

置換の符号について、$$\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau \rho )=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau )\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\rho )$$が成り立つので、$X$の行列式$(\ast )$は、$$\begin{array}{rl}& det(X)\\ & =\sum _{\tau \rho }\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau \rho )x_{1\tau (1)}\cdots x_{n\tau (n)}{x}_{n+1\rho (n+1)}\cdots x_{s\rho (s)}\\ & =(\sum _{\tau }\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\tau )x_{1\tau (1)}\cdots x_{n\tau (n)})(\sum _{\rho }\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\rho )x_{n+1\rho (n+1)}\cdots x_{s\rho (s)})\\ & =det(A)det(D)\end{array}$$で与えられます。