3文字3成分の最大公約数(2022年東京工業大学数学第2問)

東工大の整数です。シンプルな良問でした。


 

3つの正の整数$a, b, c$の最大公約数が$1$であるとき, 次の問いに答えよ.

(1)$a+b+c$, $b c+c a+a b$, $a b c$ の最大公約数は$1$であることを示せ.

(2)$a+b+c$, $a^{2}+b^{2}+c^{2}$, $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ.

(2022年東京工業大学 第2問)

 

 考え方

3文字が相手なので怯みそうですが「公約数を仮定して文字で置く」という基本は同じです。昨日紹介した京都大学の問題と解き方は共通しています。

n^2+2とn^4+2とn^6+2の最大公約数(2022年京都大学理系数学第3問)

(2)は多項式の対称性が高いので攻め方に迷いそうですが、実は(1)がヒントになっています。$$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a)$$と変形できることから、$a^{2}+b^{2}+c^{2}$ は $a+b+c$ や $a b+b c+c a$ を用いて表せます。$a^{3}+b^{3}+c^{3}$ も同様に式変形してやれば(1)の結果が利用できます。


解答例

 

(1)

$a+b+c$、$b c+c a+a b$、$a b c$ のすべてを割り切るような素数$p$が存在すると仮定する。

 

このとき$p$は$a b c$を割り切るので、$a$、$b$、$c$の少なくとも一つは$p$の倍数となる。それぞれの多項式の対称性に注目すると、$a$が$p$の倍数だと仮定しても一般性は損なわれない。

 

いま、$b c+c a+a b$ および$a$は$p$の倍数と仮定しているから、$$b c+c a+a b=a(b+c)+b c$$より、$p$は$b c$を割り切る。そこで、一般性を損なわず$b$が$p$の倍数だと仮定できる。

 

$a+b+c$、$a$、$b$は$p$の倍数と仮定しているから、$p$は$c$を割り切ることになる。しかしこれは「3つの正の整数$a, b, c$の最大公約数が$1$である」という所与の条件に矛盾し、不合理である。よって、$a+b+c$、$b c+c a+a b$、$a b c$ のすべてを割り切るような素数$p$は存在しない。

 

以上から、$a+b+c$、$b c+c a+a b$、$a b c$ の最大公約数は$1$であることが示された。

 

 

(2)

$$\small \begin{aligned} & a^{2}+b^{2}+c^{2} \\ =&\,(a+b+c)^{2}-2(b c+c a+a b) \\ \\ & a^{3}+b^{3}+c^{3} \\ =&\,(a+b+c)\left\{(a+b+c)^{2}-(b c+c a+a b)\right\}+3 a b c \end{aligned}$$と式変形できることに注目する。これより、$a+b+c$ と $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ の最大公約数は $a+b+c$ と $2(b c+c a+a b)$ の最大公約数に一致し、$a+b+c$ と $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ の最大公約数は $a+b+c$ と $3 a b c$ の最大公約数に一致する。

 

よって求める最大公約数は、$a+b+c$ と $2(b c+c a+a b)$ と $3 a b c$ の最大公約数に等しい。(1)の結論より、$a+b+c$、$b c+c a+a b$、$a b c$ の最大公約数は$1$であるから、最大公約数となり得るのは $1$、$2$、$3$、$6$ に限られる。

 

ここで、$(a, b, c)=(1,1,1)$、$(1,1,2)$、$(1,1,3)$、$(1,1,4)$ のとき、$a+b+c$ と $2(b c+c a+a b)$ と $3 a b c$ の最大公約数は、実際にそれぞれ $3$、$2$、$1$、$6$ となる。よって、求める正の整数は$$\color{red}{1,\,2,\,3,\,6}$$である。

 


 

シンプルで対称性の高い題材の整数問題でした。高潔な印象がダイレクトに伝わるのが整数問題の魅力だと個人的に感じます。特に本問は過去の数学コンテストなどで出題されていてもおかしくない問題ですね。それから、今年は東大・京大でも最大公約数に関する出題がありましたが、流行っているんでしょうか…?

(2)について、最大公約数の候補が6の約数となることは係数から明らかです。あとは実際に最大公約数が $1$、$2$、$3$、$6$ となるような組$(a, b, c)$が存在することを示せばよく、幸いなことにこれはすぐに見つかります。

別解も色々考えられそうな問題でした。例えば、(1)は解と係数の関係式を用いて攻めることもできそうですね。

また、式変形について、言われてみれば確かにその通りだと感じるかもしれませんが、実際に試験場で発想できるかどうかは普段の訓練次第だと言えます。幾つかポイントが挙げてみると、約数ではなく素因数を仮定できたか(合成数での議論を避ける)、剰余の定理が有効だと判断できたか(整式の互除法が応用できる)、(1)の結果を使える形に式変形できたか(問題の設計が俯瞰できている)、解の存在を保証する場合を示せているか(十分性による確認)、…などがあります。これらは別に本問だけに通用する発想・技術という訳ではありません。各問題のポイントとなる考え方を言語化してリストアップするだけでも構いませんので、どのような発想ができればこの問題を解くことができたのか、演習の際にしっかり振り返っておくことが大切です。

演習問題を行き当たりばったりで解きまくる、という勉強法は(訓練にはなるでしょうが)効率的とは言い難いでしょう。受験生に与えられている時間は平等です。その平等な時間の中で学習効果を最大化してライバルを凌駕するためには、常に頭を使わなければなりません。

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