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整数第３章第１節Ｂ-１

B 剰余・冪の問題

問題一覧（#B001～#B020）

問題番号の横に星印で難しさの目安を示しておきますが、あまり気にしないで解いてみて下さい。（★が多い＝難しい）

Ｂ問題の解答はＡ問題の内容を基礎としています。Ｂ問題が難しいと感じる人はＡ問題を先に一回りしましょう。実際に自分の手を動かして考えるのが最も良い勉強の仕方ではありますが、答えを一通り読むだけでも十分勉強になるはずです。

» 問題#B001

問題#B001　★☆☆☆

$1$ 以上 $100$ 以下の自然数で、 $3$ で割ったときの余りが $1$ であるものは何個存在するか。また、 $1$ 以上 $100$ 以下の自然数で、 $3$ で割ったときの余りが $1$ であり、 $4$ で割ったときの余りが $3$ であるものは何個存在するか。

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» 問題#B002

問題#B002　★☆☆☆

正の整数 $n$ は $5$ で割り切れ、 $3$ を足すと $4$ で割り切れるという。このような $n$ のうち $100$ 以下のものをすべて求めよ。

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» 問題#B003

問題#B003　★★☆☆

$3$ を足すと $5$ で割り切れ、 $4$ を足すと $7$ で割り切れるような正の整数のうち5番目に大きなものを求めよ。

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» 問題#B004

問題#B004　★★☆☆

$m$ と $n$ は正の整数とする。 $n$ を $m$ を割ると $7$ 余り、 $n + 13$ は $m$ で割り切れるとき、 $m$ の値をすべて求めよ。

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» 問題#B005

問題#B005　★★☆☆

整数の2乗となる数を平方数という。

（１）平方数を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ に限られることを示せ。

（２）平方数を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ に限られることを示せ。

（３）平方数を $5$ で割った余りは $0$ か $1$ か $4$ に限られることを示せ。

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» 問題#B006

問題#B006　★★☆☆

整数 $a$ 、 $b$ について $a^{2} + b^{2}$ が $7$ の倍数であるならば、 $a$ 、 $b$ はいずれも $7$ の倍数であることを示せ。

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» 問題#B007

問題#B007　★★☆☆

いずれも互いに素な整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ は等式 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を満たしている。

（１） $a$ と $b$ のいずれか一方は奇数であることを示せ。

（２） $a$ が奇数ならば $b$ は $4$ の倍数であることを示せ。

（３） $a$ 、 $b$ 、 $c$ がいずれも互いに素ならば $c$ は $3$ の倍数でないことを示せ。

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» 問題#B008

問題#B008　★★☆☆

2桁の正の整数 $n$ は $5$ で割ると $2$ 余り、2乗して $8$ で割ると $1$ 余るという。このような $n$ をすべて求めよ。

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» 問題#B009

問題#B009　★☆☆☆

（１） $3^{100}$ を $4$ で割ったときの余りを求めよ。

（２） $3^{100}$ を $5$ で割ったときの余りを求めよ。

（３） $3^{100}$ を $6$ で割ったときの余りを求めよ。

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» 問題#B010

問題#B010　★★☆☆

$n$ を正の整数とする。

（１） $9^{n} - 4^{n}$ は $5$ の倍数であることを示せ。

（２） $13^{n} - 9^{n} - 4^{n}$ は $36$ の倍数であることを示せ。

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» 問題#B011

問題#B011　★★☆☆

整数 $n$ が $n ≧ 2$ を満たすとき、 $\frac{2^{2^{n}} + 4}{10}$ は整数であることを示せ。

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» 問題#B012

問題#B012　★★☆☆

$n$ を正の整数とするとき、 $2^{n} + 1$ は $15$ で割り切れないことを示せ。

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» 問題#B013

問題#B013　★★★☆

（１）

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n = 1, 2, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、第 $n$ 項 $a_{n}$ を $5$ で割ったときの余りを $b_{n}$ とするとき、数列 ${b_{n}}$ は周期数列であることを示せ。

（２）

$a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 3$ 、 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、第 $n$ 項 $a_{n}$ を $5$ で割ったときの余りを $b_{n}$ とするとき、数列 ${b_{n}}$ は周期数列であることを示せ。

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» 問題#B014

問題#B014　★★☆☆

数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = 4^{n} + n^{4} (n = 1, 2, \dots)$ と定めるとき、 $a_{2017}$ の下一桁の数を求めよ。

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» 問題#B015

問題#B015　★★☆☆

$k$ および $n$ を正の整数とするとき、 $n^{k + 4}$ と $n^{k}$ の下一桁の数は一致することを示せ。

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» 問題#B016

問題#B016　★★☆☆

$p^{2} + 2$ が素数となるような素数 $p$ をすべて求めよ。

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» 問題#B017

問題#B017　★★☆☆

$p^{q} + q^{p}$ が素数となるような素数の組 $(p, q)$ をすべて求めよ。

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» 問題#B018

問題#B018　★★★☆

数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = \sqrt{24 n + 1} (n = 1, 2, \dots)$ と定めるとき、 $5$ 以上の素数はすべて数列 ${a_{n}}$ の何項目かに現れることを示せ。

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» 問題#B019

問題#B019　★★☆☆

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 10 a_{n} + 1 (n = 1, 2, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ に現れる平方数は $1$ のみであることを示せ。

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» 問題#B020

問題#B020　★★★☆

$2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ が平方数となるような正の整数 $n$ をすべて求めよ。

» 問題#B020を閉じる

明けましておめでとうございます。今年は巳年ですね。

西暦年を60で割って45が余る年は「乙巳（きのとみ）」という干支です。「乙」には植物がしなやかに成長するという意味があり、また、「巳」は蛇を意味しており、脱皮を繰り返しながら成長する様子から「再生」と「変化」（時には「不老長寿」も）を象徴しています。

このことから、乙巳の年は変化や成長が加速する年、社会や個人の状況が大きく転換する年などと言われます。皆さんも今年は新しいことにチャレンジしてみてはいかがでしょうか？

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