$1$以上$100$以下の自然数で、$3$で割ったときの余りが$1$であるものは何個存在するか。また、$1$以上$100$以下の自然数で、$3$で割ったときの余りが$1$であり、$4$で割ったときの余りが$3$であるものは何個存在するか。

解答例

» 問題#B001を閉じる

正の整数$n$は$5$で割り切れ、$3$を足すと$4$で割り切れるという。このような$n$のうち$100$以下のものをすべて求めよ。

解答例

» 問題#B002を閉じる

$3$を足すと$5$で割り切れ、$4$を足すと$7$で割り切れるような正の整数のうち5番目に大きなものを求めよ。

解答例

» 問題#B003を閉じる

$m$と$n$は正の整数とする。$n$を$m$を割ると$7$余り、$n+13$は$m$で割り切れるとき、$m$の値をすべて求めよ。

解答例

» 問題#B004を閉じる

整数の2乗となる数を平方数という。

（１）平方数を$3$で割った余りは$0$か$1$に限られることを示せ。

（２）平方数を$4$で割った余りは$0$か$1$に限られることを示せ。

（３）平方数を$5$で割った余りは$0$か$1$か$4$に限られることを示せ。

解答例

» 問題#B005を閉じる

整数 $a$、$b$ について $a^2+b^2$ が$7$の倍数であるならば、$a$、$b$ はいずれも$7$の倍数であることを示せ。

解答例

» 問題#B006を閉じる

いずれも互いに素な整数 $a$、$b$、$c$ は等式 $$a^2+b^2=c^2$$ を満たしている。

（１）$a$と$b$のいずれか一方は奇数であることを示せ。

（２）$a$が奇数ならば$b$は$4$の倍数であることを示せ。

（３）$a$、$b$、$c$がいずれも互いに素ならば$c$は$3$の倍数でないことを示せ。

解答例

» 問題#B007を閉じる

2桁の正の整数$n$は$5$で割ると$2$余り、2乗して$8$で割ると$1$余るという。このような$n$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#B008を閉じる

（１）$3^{100}$を$4$で割ったときの余りを求めよ。

（２）$3^{100}$を$5$で割ったときの余りを求めよ。

（３）$3^{100}$を$6$で割ったときの余りを求めよ。

解答例

» 問題#B009を閉じる

$n$を正の整数とする。

（１）$9^n-4^n$は$5$の倍数であることを示せ。

（２）$13^n-9^n-4^n$は$36$の倍数であることを示せ。

解答例

» 問題#B010を閉じる

整数$n$が $n \geqq 2$ を満たすとき、$\dfrac{2^{2^n}+4}{10}$は整数であることを示せ。

解答例

» 問題#B011を閉じる

$n$を正の整数とするとき、$2^n+1$ は$15$で割り切れないことを示せ。

解答例

» 問題#B012を閉じる

（１）

$a_1=1$、$a_{n+1}=2a_n+1 \ (n=1,2,\cdots)$ で定められる数列$\{ a_n \}$について、第$n$項$a_n$を$5$で割ったときの余りを$b_n$とするとき、数列$\{ b_n \}$は周期数列であることを示せ。

（２）

$a_1=1$、$a_2=3$、$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \ (n=1,2,\cdots)$ で定められる数列$\{ a_n \}$について、第$n$項$a_n$を$5$で割ったときの余りを$b_n$とするとき、数列$\{ b_n \}$は周期数列であることを示せ。

解答例

» 問題#B013を閉じる

数列$\{ a_n \}$を$a_n=4^n+n^4 \ (n=1,2,\cdots)$と定めるとき、$a_{2017}$の下一桁の数を求めよ。

解答例

» 問題#B014を閉じる

$k$および$n$を正の整数とするとき、$n^{k+4}$と$n^k$の下一桁の数は一致することを示せ。

解答例

» 問題#B015を閉じる

$p^2+2$ が素数となるような素数$p$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#B016を閉じる

$p^q+q^p$が素数となるような素数の組$(p,q)$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#B017を閉じる

数列$\{ a_n \}$を$a_n=\sqrt{24n+1} \ (n=1,2,\cdots)$と定めるとき、$5$以上の素数はすべて数列$\{ a_n \}$の何項目かに現れることを示せ。

解答例

» 問題#B018を閉じる

$a_1=1$、$a_{n+1}=10a_n+1 \ (n=1,2,\cdots)$ で定められる数列$\{ a_n \}$に現れる平方数は$1$のみであることを示せ。

解答例

» 問題#B019を閉じる

$2^n+3^n+4^n$が平方数となるような正の整数$n$をすべて求めよ。

解答例

» 問題#B020を閉じる