創作整数問題#93解法＆創作整数問題#94

（１）

$a$、$b$、$c$、$d$を実数として、$f(z)=z^4+a{z}^3+b{z}^2+cz+d$ と置く。$x$、$y$（ただし $y\ne 0$）を実数として $w=x+iy$ と置くと、$f(x+iy)=0$ より、
$$\begin{array}{rl}& (a{x}^3-3ax{y}^2+b{x}^2-b{y}^2+cx+d+x^4-6x^2{y}^2+y^4)\\ & +i(3a{x}^{2}y-a{y}^3+2bxy+cy+4x^{3}y-4x{y}^3)=0\end{array}$$ $$\{\begin{array}{rl}& a{x}^3-3ax{y}^2+b{x}^2-b{y}^2\\ & +cx+d+x^4-6x^2{y}^2+y^4=0& \cdots \mathrm{①}\\ & 3a{x}^2-a{y}^2+2bx+c+4x^3-4x{y}^2=0& \cdots \mathrm{②}\end{array}$$を得る。

ここで、$\bar{w}=x-iy$ であるから、$f(x-iy)$ を展開すると、
$$\begin{array}{rl}& (a{x}^3-3ax{y}^2+b{x}^2-b{y}^2+cx+d+x^4-6x^2{y}^2+y^4)\\ & +i(-3a{x}^{2}y+a{y}^3-2bxy-cy-4x^{3}y+4x{y}^3)\end{array}$$となる。$y\ne 0$ に注意すると、これが$0$に一致するには$$\{\begin{array}{rl}& a{x}^3-3ax{y}^2+b{x}^2-b{y}^2\\ & +cx+d+x^4-6x^2{y}^2+y^4=0& \cdots \mathrm{③}\\ & -3a{x}^2+a{y}^2-2bx-c-4x^3+4x{y}^{２}=0& \cdots \mathrm{④}\end{array}$$が成り立てばよい。ところで、$\mathrm{③}$の左辺は$\mathrm{①}$の左辺に等しいから$0$であり、$\mathrm{④}$の左辺は$\mathrm{②}$の左辺に$-1$を乗じたものに等しいから$0$である。

したがって、$f(x-iy)=0$ が成り立つから示された。

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（２）

（１）より、実数係数の4次式$f(z)$が複素数 $z=1+i$、$z=-1+i$ を根としてもつならば、それらと共役な複素数 $z=1-i$、$z=-1-i$ も実数係数の4次式$f(z)$の根となる。したがって、$f(z)$は$$(z-(1+i))(z-(1-i))(z-(-1+i))(z-(-1-i))$$すなわち$$(z^2-2z+2)(z^2+2z+2)$$を因数にもつ。

よって、求めるような4次式$f(z)$のひとつは、$$f(z)=(z^2-2z+2)(z^2+2z+2)$$である。

（３）

（２）より、$$(z^2-2z+2)(z^2+2z+2)=z^4+4$$であることに注目し、$z=93$ と置くと、$$\begin{array}{rl}& {93}^4+4\\ & =({93}^2-2\cdot 93+2)({93}^2+2\cdot 93+2)\\ & =8465\cdot 8837\\ & =5\cdot 1693\cdot 8837\end{array}$$を得る。したがって、求める素因数は$$5,1693,8837$$である。