媒介変数表示された曲線の囲む図形（2016年東京工業大学前期数学第5問）

（１）

曲線$C$ $$\{\begin{array}{l}x=3\cos t-\cos 3t\\ y=3\sin t-\sin 3t\end{array}$$について、各式を$t$で微分すると$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-3\sin t+3\sin 3t=6\cos 2t\sin t\\ & {\displaystyle \frac{dy}{dt}}=3\cos t-3\cos 3t=6\sin 2t\sin t\end{array}$$となるから、増減表は以下のようになる。$$\overline{)\begin{array}{cccccc}t& 0& \cdots & {\displaystyle \frac{\pi }{4}}& \cdots & {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ {\displaystyle \frac{dx}{dt}}& & +& 0& -& \\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}& & +& +& +& \\ ({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})& & <img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2197.svg">& \uparrow & <img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nwarrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2196.svg">& \\ (x,y)& (2,0)& \cdots & (2\sqrt{2},\sqrt{2})& \cdots & (0,4)\end{array}}$$これより、$C$ の概形を図示すると以下のようになる。

（２）

曲線$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする。（１）で描いた図形より、$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^{4}xdy={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\frac{dy}{dt}dt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(3\cos t-\cos 3t)(3\cos t-3\cos 3t)dt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3(3{\cos }^{2}t-4\cos 3t\cos t+{\cos }^{2}3t)dt\\ & =3{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\frac{3}{2}(1+\cos 2t)-2(\cos 4t+\cos 2t)+\frac{1}{2}(1+\cos 6t))dt\\ & =3{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2-\frac{1}{2}\cos 2t-2\cos 4t+\frac{1}{2}\cos 6t)dt\\ & =3{[2t-\frac{1}{4}\sin 2t-\frac{1}{2}\sin 4t+\frac{1}{12}\sin 6t]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =3\pi \end{array}$$と計算できる。よって求める面積は$$3\pi$$である。