今年（2023年）の東京工業大学の問題の第１問です。整数問題ではないですが、「１行問題」ということで取り上げます。
実数 $\displaystyle \int_0^{2023} \dfrac{2}{x+e^x} d x$ の整数部分を求めよ。
（2023年 東京工業大学 第1問）
問題文は至ってシンプル、解答の方針も東工大の数学にしてはシンプルです。$2023$という数字が目に付きますが、本質的ではないので惑わされないようにしましょう。
この手の問題では面積で評価する方針がオーソドックスなものだと思いますが、できるだけ誤差の小さな評価方法を選ぶ必要があります。$y=\dfrac{2}{x+e^x}$ は意外と急速に$0$に収束するので、長方形で評価するのは精度がマズいです。今回は $y=\dfrac{2}{x+e^x}$ に接する三角形の面積で評価することにします。また、うまく式変形してやれば積分可能な関数で評価することもできます。
いずれにせよ、まずは定積分の値がどの程度の大きさになりそうかを見積もっておきましょう。以下、2パターンの解答例を示します。
$I=\displaystyle \int_0^{2023} \dfrac{2}{x+e^x} d x$ と置く。
$x \geqq 0$ において $0<x<e^x$ であるから$$\dfrac{2}{e^x+e^x} < \dfrac{2}{x+e^x} < \dfrac{2}{0+e^x}$$ $$\therefore \dfrac{1}{e^x} < \dfrac{2}{x+e^x} < \dfrac{2}{e^x}$$ $$\therefore \displaystyle \int_0^{2023} \dfrac{1}{e^x} dx \leqq I \leqq \int_0^{2023} \dfrac{2}{e^x} dx$$ $$\therefore 1-\dfrac{1}{e^{2023}} \leqq \underline{I \leqq 2-\dfrac{2}{e^{2023}}}$$ここで $0<\dfrac{2}{e^{2023}}<\dfrac{1}{2}$ より、右辺について $\dfrac{3}{2}<2-\dfrac{2}{e^{2023}}<2$ が成り立つから、下線部について$$I<2$$が成り立つ。
$f(x)=\dfrac{2}{x+e^x}$ と置き、$y=f(x)$ の接線を$\ell$とする。$$\dfrac{d}{d x}f(x)=-\dfrac{2\left(e^x+1\right)}{\left(x+e^x\right)^2}\,(<0)$$より、$x=t$（$t>0$）における接線$\ell$の方程式は、$$y=-\dfrac{2(1+e^t)}{(t+e^t)^2}(x-t)+\dfrac{2}{t+e^t}$$で与えられる。ここで、$$\dfrac{d^2}{d x^2}f(x)=\dfrac{2\left(-e^x(x-4)+e^{2 x}+2\right)}{\left(x+e^x\right)^3}$$であり、この分子の導関数は $2 e^x ( 2 e^x-x + 3)$ でこれは常に正で、かつ分子は $x=0$ のとき $7$ であるから、$x \geqq 0$ において $y=f(x)$ の2次導関数は常に正となる。したがって $y=f(x)$ は $x \geqq 0$ において下に凸の単調減少関数と分かるから、接線$\ell$と$x$軸と$y$軸によって囲まれてできる三角形$T$は常に曲線 $y=f(x)$ の下側に存在し、$$S<I$$が常に成立する。
いま、$x=1$ における接線を考える。このとき$\ell$の方程式は$$y=-\dfrac{2}{1+e}x+\dfrac{4}{1+e}$$となり、三角形$T$の面積を$S$とすると$$S=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \dfrac{4}{1+e}=\dfrac{4}{1+e}$$と求められる。$2<e<3$ より $1<\dfrac{4}{1+e}<\dfrac{4}{3}$ となるから、$$1<S<I$$が成り立つ。
以上より $1<I<2$ となるから、求める整数部分は $\color{red}{1}$ である。
$$\begin{aligned} I&=\displaystyle \int_0^{2023} \dfrac{2}{x+e^x} d x \\ &=\int_0^{2023} \dfrac{2e^{-x}}{1+xe^{-x}} d x \end{aligned}$$と置く。ここで $f(x)=xe^{-x}$ とすると $f^{\prime}(x)=(-x+1) e^{-x}$ より、増減表は以下のようになる。$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \infty \\
\hline f^{\prime}(x) & & + & & – & \\
\hline f(x) & 0 & \nearrow & \dfrac{1}{e} & \searrow & 0
\end{array}$$よって $x \geqq 0$ において $0 \leqq f(x) \leqq \dfrac{1}{e}$ であるから、$$\dfrac{2e^{-x}}{1+\dfrac{1}{e}} \leqq \dfrac{2e^{-x}}{1+xe^{-x}} \leqq \dfrac{2e^{-x}}{1+0}$$ $$\therefore \dfrac{2e \cdot e^{-x}}{1+e} \leqq \dfrac{2e^{-x}}{1+xe^{-x}} \leqq 2e^{-x}$$ $$\therefore \displaystyle \int_0^{2023} \dfrac{2e \cdot e^{-x}}{1+e} dx \leqq I \leqq \int_0^{2023} 2e^{-x} dx$$ $$\therefore \dfrac{2e}{1+e}-\dfrac{2e \cdot e^{-2023}}{1+e} \leqq I \leqq 2-2e^{-2023} \quad \cdots (*)$$となる。
ここで、$(*)$の左辺は$$1+\dfrac{e-1}{e+1}-\dfrac{2e \cdot e^{-2023}}{1+e}$$と変形できる。いま、$2<e<3$ より $1<e-1<2$ および $3<e+1<4$ であるから $\dfrac{1}{4}<\dfrac{e-1}{e+1}<\dfrac{2}{3}$ が成り立つ。よって、$$\dfrac{5}{4}<\dfrac{2e}{1+e}<\dfrac{5}{3}$$を得る。$(*)$の左辺は$$\dfrac{2e}{1+e}\left( 1-e^{-2023} \right)$$と表せるが、$0<\dfrac{1}{e^{2023}}<\dfrac{1}{5}$ より$$1<\dfrac{2e}{1+e}\left( 1-e^{-2023} \right)<\dfrac{5}{3}$$が成り立つ。
また、$(*)$の右辺について、$0<\dfrac{1}{e^{2023}}<\dfrac{1}{5}$ より$$\dfrac{8}{5}<2-2e^{-2023}<2$$が成り立つ。故に$(*)$より$$1<I<2$$となるから、実数 $\displaystyle \int_0^{2023} \dfrac{2}{x+e^x} d x$ の整数部分は $\color{red}{1}$ である。
本問は下から押さえるところだけが難所です。解答例①は下からの評価を三角形で済ませる方針、解答例②は $f(x)=xe^{-x}$ という関数に注目して定積分を評価する方針です。前者の方が思い付いた人は多いと思いますが、例えば短冊状に区切って面積を評価するのは本問では悪手で、非常に面倒な計算を強いられてしまいます。
解答例①はとてもシンプルな解法だと思います。答案の中では曲線 $y=\dfrac{2}{x+e^x}$ の凸性に言及しておいた方が良いでしょう。これは三角形の面積から定積分を評価できることの根拠になっているためです。解答例②の途中では $5<e^{2023}$ という非常に粗い評価をしていますが、論証の上では問題ありません。積分の際に負号が付く点に注意しましょう。
因みに、$\dfrac{2}{x+e^x}$の原始関数は初等関数の範囲では表現できないことが知られています。なお、定積分の値は $\displaystyle \int_0^{2023} \dfrac{2}{x+e^x} d x \approx 1.61279…$ となり、確かに整数部分が$1$になっています。