創作整数問題gallery #51~

創作整数問題gallery #51~

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ここでは今までに作問してきた「創作整数問題」を展覧しています。解答例や考え方はブログの方で紹介しており、問題番号をクリックorタップすると解答例が閲覧できます。


《問題#51》

$2^{n}-1$ と $2^{2019}-1$ が互いに素となるような$2019$未満の自然数$n$はいくつ存在するか。


《問題#52》

方程式 $a^2 b=a^3+3b^5$ を満たす整数の組$(a,\,b)$は無数に存在することを示せ。


《問題#53》

$s_n=5^n+3^n$ を$1001$で割った余りが$1$となるような正の整数$n$をすべて求めよ。


《問題#54》

方程式$$5408 = a^2 + b^2 +c^2$$を満たす正の整数 $a,\,b,\,c$($a>b>c>0$)の組をすべて求めよ。


《問題#55》

$55p+1$ が立方数となるような素数$p$が存在しないことを示せ。


《問題#56》

$\dfrac{8x+4y+2}{x^2+6y^2+8}$が整数となるような整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。


《問題#57》

$n$を正の整数とする。$7$進法表示で$2$が$n$個並んだ整数 $222 \cdots 222_{(7)}$ を$s_n$とするとき、$s_n$を$10$進法表示すると下3桁が$000$となるような最小の$n$を求めよ。


《問題#58》

$a$、$b$ を整数とし、実数$x$の2次方程式$$x^2+ax+b=0 \ \ \ \cdots (*)$$に対して $D=a^2-4b$ と置く。このとき、方程式$(*)$の2解が整数となることと、$D$ が平方数となることは同値であることを示せ。


《問題#59》

$p^2+59$ の正の約数が$10$個より少ないような素数$p$をすべて求めよ。


《問題#60》

平方数とは、ある整数の二乗として表される数である。

(1)正の整数 $n$、$m$ の組に対して $n^{m+1}+m^{n+1}$ が平方数となるとき、$n$、$m$ の少なくとも1つは偶数であることを示せ。

(2)$p^{q+1}+q^{p+1}$ が平方数となるような素数$p$、$q$の組をすべて求めよ。


《問題#61》

$N=2020^{2020}$ を十進法表示したときの各桁の数をすべて足した数を$A$とし、同様に$A$の各桁の数をすべて足した数を$B$、$B$の各桁の数をすべて足した数を$C$とするとき、$C$を求めよ。


《問題#62》

座標平面上で原点を中心として曲線$C_1$:$y=x^2$ を$45^{\circ}$だけ回転させて得られる曲線を$C_2$とするとき、曲線$C_2$上の格子点をすべて求めよ。ただし格子点とは、$x$座標と$y$座標の値がともに整数であるような点のことである。


《問題#63》

$1$と$0$が交互に並んだ$63$桁の整数$$N=\underbrace{1010 \cdots 0101}_{63桁}$$が素数でないことを示せ。


《問題#64》

$3^{4^5}+4^{5^6}$は$4000$桁以上の異なる2つの整数の積で表せることを示せ。


《問題#65》

$n^n+n!$ が $n+1$ で割り切れるような正の整数$n$は無数に存在することを示せ。


《問題#66》

$\sqrt[3]{1.6+0.64\sqrt{5}}+\sqrt[3]{1.6-0.64\sqrt{5}}$ が整数であることを示せ。


《問題#67》

$x+y$、$x+2y$、$2x+y$ がいずれも平方数となるような整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。


《問題#68》

約分をする際、$$\dfrac{12}{24}=\dfrac{\,1\!\cancel{2}}{\!\cancel{2}\!4}=\dfrac{1}{4}$$という操作は $\dfrac{12}{24} \ne \dfrac{1}{4}$ であるから一般には誤りとなるが、しばしば$$\dfrac{16}{64}=\dfrac{\,1\!\cancel{6}}{\!\cancel{6}\!4}=\dfrac{1}{4}$$のように偶然うまくいく場合も存在する。

このように通常の約分に対して、分子と分母に共通の数字(ただし$0$を除く)が含まれている場合にそれらを打ち消して作った新たな分数から既約分数を得ることを「異常な約分」と呼ぶ。例えば、$\dfrac{36}{69}$に異常な約分を施すと $\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ となり、$\dfrac{12}{24}$は通常の約分と異常な約分が異なる分数であり、$\dfrac{16}{64}$は通常の約分と異常な約分が一致する分数である。

このことを踏まえた上で、以下の条件を満たす分数をすべて求めよ。

(A)$1$未満の正の分数として表せる
(B)分子と分母がともに2桁の整数である
(C)通常の約分と異常な約分が一致する


《問題#69》

$n$を正の整数とするとき、$2^n$は連続する2つ以上の正の整数の和として表せないことを示せ。


《問題#70》

$\dfrac{2^{700}}{2^{70}+1}$ の$1$の位の数字を求めよ。


《問題#71》

$1$を$70$個並べてできる数 $N=\underbrace{111 \cdots 111}_{70\text{個}}$ は$71$で割り切れることを示せ。


《問題#72》

$3$乗すると下$4$桁の数字が$7272$になるような正の整数のうち、最小のものを求めよ。


 

 


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