創作整数問題gallery #51~
ここでは今までに作問してきた「創作整数問題」を展覧しています。解答例や考え方はブログの方で紹介しており、問題番号をクリックorタップすると解答例が閲覧できます。
$2^{n}-1$ と $2^{2019}-1$ が互いに素となるような$2019$未満の自然数$n$はいくつ存在するか。
方程式 $a^2 b=a^3+3b^5$ を満たす整数の組$(a,\,b)$は無数に存在することを示せ。
$s_n=5^n+3^n$ を$1001$で割った余りが$1$となるような正の整数$n$をすべて求めよ。
方程式$$5408 = a^2 + b^2 +c^2$$を満たす正の整数 $a,\,b,\,c$（$a>b>c>0$）の組をすべて求めよ。
$55p+1$ が立方数となるような素数$p$が存在しないことを示せ。
$\dfrac{8x+4y+2}{x^2+6y^2+8}$が整数となるような整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。
$n$を正の整数とする。$7$進法表示で$2$が$n$個並んだ整数 $222 \cdots 222_{(7)}$ を$s_n$とするとき、$s_n$を$10$進法表示すると下3桁が$000$となるような最小の$n$を求めよ。
$a$、$b$ を整数とし、実数$x$の２次方程式$$x^2+ax+b=0 \ \ \ \cdots (*)$$に対して $D=a^2-4b$ と置く。このとき、方程式$(*)$の２解が整数となることと、$D$ が平方数となることは同値であることを示せ。
$p^2+59$ の正の約数が$10$個より少ないような素数$p$をすべて求めよ。
平方数とは、ある整数の二乗として表される数である。
（１）正の整数 $n$、$m$ の組に対して $n^{m+1}+m^{n+1}$ が平方数となるとき、$n$、$m$ の少なくとも１つは偶数であることを示せ。
（２）$p^{q+1}+q^{p+1}$ が平方数となるような素数$p$、$q$の組をすべて求めよ。
$N=2020^{2020}$ を十進法表示したときの各桁の数をすべて足した数を$A$とし、同様に$A$の各桁の数をすべて足した数を$B$、$B$の各桁の数をすべて足した数を$C$とするとき、$C$を求めよ。
座標平面上で原点を中心として曲線$C_1$：$y=x^2$ を$45^{\circ}$だけ回転させて得られる曲線を$C_2$とするとき、曲線$C_2$上の格子点をすべて求めよ。ただし格子点とは、$x$座標と$y$座標の値がともに整数であるような点のことである。
$1$と$0$が交互に並んだ$63$桁の整数$$N=\underbrace{1010 \cdots 0101}_{63桁}$$が素数でないことを示せ。
$3^{4^5}+4^{5^6}$は$4000$桁以上の異なる２つの整数の積で表せることを示せ。
$n^n+n!$ が $n+1$ で割り切れるような正の整数$n$は無数に存在することを示せ。
$\sqrt[3]{1.6+0.64\sqrt{5}}+\sqrt[3]{1.6-0.64\sqrt{5}}$ が整数であることを示せ。
$x+y$、$x+2y$、$2x+y$ がいずれも平方数となるような整数の組$(x,y)$をすべて求めよ。
約分をする際、$$\dfrac{12}{24}=\dfrac{\,1\!\cancel{2}}{\!\cancel{2}\!4}=\dfrac{1}{4}$$という操作は $\dfrac{12}{24} \ne \dfrac{1}{4}$ であるから一般には誤りとなるが、しばしば$$\dfrac{16}{64}=\dfrac{\,1\!\cancel{6}}{\!\cancel{6}\!4}=\dfrac{1}{4}$$のように偶然うまくいく場合も存在する。
このように通常の約分に対して、分子と分母に共通の数字（ただし$0$を除く）が含まれている場合にそれらを打ち消して作った新たな分数から既約分数を得ることを「異常な約分」と呼ぶ。例えば、$\dfrac{36}{69}$に異常な約分を施すと $\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ となり、$\dfrac{12}{24}$は通常の約分と異常な約分が異なる分数であり、$\dfrac{16}{64}$は通常の約分と異常な約分が一致する分数である。
このことを踏まえた上で、以下の条件を満たす分数をすべて求めよ。
（A）$1$未満の正の分数として表せる
（B）分子と分母がともに2桁の整数である
（C）通常の約分と異常な約分が一致する
$n$を正の整数とするとき、$2^n$は連続する2つ以上の正の整数の和として表せないことを示せ。
$\dfrac{2^{700}}{2^{70}+1}$ の$1$の位の数字を求めよ。
$1$を$70$個並べてできる数 $N=\underbrace{111 \cdots 111}_{70\text{個}}$ は$71$で割り切れることを示せ。
$3$乗すると下$4$桁の数字が$7272$になるような正の整数のうち、最小のものを求めよ。
整数 $a_n=8^{n+2}+9^{2n+1}$（$n=1,\,2,\,3,\cdots$）のすべてを割り切る素数を求めよ。
任意の自然数$n$に対して、$3$乗すると下$n$桁の数字がすべて$1$になるような$n$桁以下の正の整数が存在することを示せ。
$a \geqq b \geqq c$ を満たす正の整数$a$、$b$、$c$に対して、方程式$(*)$を考える。$$(*):\quad a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a b c)^{2}$$以下の問いに答えよ。
（１）$c=1$ を示せ。
（２）方程式$(*)$を満たす組$(a,b,c)$をすべて求めよ。
$76^n-76n$ が$20$でも$21$でも割り切れる正の整数となるような最小の正の整数$n$を求めよ。
以下の２つの条件を同時に満たすような座標平面上の放物線$C$が存在することを示せ。
条件$(1)$：異なる$3$つの格子点で、これらを頂点とする三角形が二等辺三角形にならず、かつ、その面積が$77$となるようなものが$C$上に存在する。
条件$(2)$：整数 $a,b,c$ を用いて $y=ax^2+bx+c$ という形の方程式で表せる。
ここで、座標平面上における格子点とは、$x$座標と$y$座標がともに整数であるような座標平面上の点である。
等式$$\dfrac{5}{78}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$$を満たす正の整数組$(a,b)$をすべて求めよ。
各位の数の和が$79$で、かつ$79$で割り切れるような正の整数のうち最小のものを求めよ。
小学生の太郎くんは、$4$歳の妹と両親と祖父母の$6$人家族で暮らしています。太郎くんのお父さんはお母さんより$5$歳だけ年上で、お爺ちゃんとお婆ちゃんの年齢は同じです。いま、家族全員の年齢を合計すると$231$歳でした。
それからちょうど数年が経った$2021$年、太郎くんの年齢は$2$倍になり、お爺ちゃんとお婆ちゃんは$80$歳になりました。また、太郎君の年齢にある整数を掛けるとお父さんの年齢になり、妹の年齢に別のある整数を掛けてもお父さんの年齢になりました。
このとき、$2021$年時点における太郎くんの年齢を求めてください。ただし、年齢は全く同じ日に計算しているものとします。
ある整数に対して各位の数を反転させてできる数を「逆順数」と呼ぶことにする。例えば$2021$の逆順数は$1202$であり、$2020$の逆順数は$202$である。このとき、自身とその逆順数がともに$81$で割り切れるような最小の正の整数を求めよ。
$\log_{10}(8^a+2^b)$が整数となるような正の整数組$(a,\,b)$をすべて求めよ。
循環小数を表示したときに繰り返される数字の列を循環節という。例えば、$$\dfrac{1}{7}=0.\underline{142857}14285714\ldots$$であるから$\dfrac{1}{7}$の循環節は下線部の$\underline{142857}$であり、循環節の長さは$6$である。
（１）$2$と$5$を除く素数$p$について、$\dfrac{1}{p}$の循環節の長さは $p-1$ の約数になることを示せ。
（２）$\dfrac{1}{83}$の循環節の長さを求めよ。
（３）十進法表記において、最高位の数字が$8$、下$1$桁の数字が$3$で、間がすべて$0$であるような$3$桁以上の整数 $800 \ldots 003$ のうち、$83$で割り切れるものを１つ求めよ。
$0$から$9$までのすべての数字は自然数の平方根の小数点以下第$3$位の数字として現れることを示せ。
方程式$(*)$に関する以下の問いに答えよ。$$(*): \quad y^2=x^3+7$$
（１）方程式$(*)$が整数解$(x,y)$を持つとすれば、$x$は奇数に限ることを示せ。
$a$を整数、$p$を素数として $n^2 \equiv a \pmod{p}$ を満たす整数$n$が存在するとき「$a$は$p$を法とする平方剰余である」という。ここで一般に、$p-1$ が$p$を法とする平方剰余であるならば、$p$は$4$で割った余りが$1$となる素数に限ることが知られている。
（２）上記の事実を利用して方程式$(*)$が整数解を持たないことを示せ。
平方数とは、ある整数の二乗として表される数のことである。
（１）$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$、$a_{4}$、$b_{1}$、$b_{2}$、$b_{3}$、$b_{4}$を整数とし、$A=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}a_{i}^{2}$、$B=\displaystyle \sum_{i=1}^{4}b_{i}^{2}$ とする。このとき積$AB$もまた$4$個の平方数の和として表せることを示せ。つまり等式$$\begin{aligned}AB=&\,(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4})^{2} \\ & \quad +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\ & \quad \quad +(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\ & \quad \quad \quad +(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1})^{2}\end{aligned}$$が恒等的に成り立つことを示せ。
（２）$2022$を$4$個の平方数の和として表せ。ただし平方数の組は$1$組のみ与えれば良い。
（３）$173892$を$4$個の平方数の和として表せ。ただし平方数の組は$1$組のみ与えれば良い。
（１）$k$を正の奇数とする。方程式$$k^4 x-2^4 y=1 \quad \cdots ①$$を満たすような整数組$(x,y)$について、$x$の値は適当な整数$n$を用いて $x=16n+1$ で与えられることを示し、さらに$y$の値を$k$と$n$の式で表せ。
（２）前問の結果を利用して、方程式$$87^4 x-2^4 y=1 \quad \cdots ②$$を満たす正の整数組$(x,y)$のうち、$y$の値が最小となる組を求めよ。
（３）$k$を正の奇数とする。正の整数組$(X,Y)$は方程式$$k^5 X-2^5 Y=1 \quad \cdots ③$$を満たしている。このとき、$k^5 X-k^8$ は$2^5$で割り切れることを示せ。
（４）正の整数組$(X,Y)$は方程式$$87^5 X-2^5 Y=1 \quad \cdots ④$$を満たしている。このとき、$X$の最小値を求めよ。
$n^3$ から $(n+7)^3$ までの隣接する$8$個の立方数の和が$1000$で割り切れるような正の整数$n$のうち、最小のものを求めよ。
正の整数$m$、$n$により$\dfrac{m^3+n^3}{89}$と表せるような最小の素数を求めよ。
十進法表記された1桁でない正の整数$n$に対して、$n$の各位の数の和、各位の数の積を、それぞれ$s$、$p$とする。例えば $n=334$ のとき、$$s=3+3+4=10$$ $$p=3 \times 3 \times 4=36$$である。このとき、$s+p=n$ を満たす正の整数$n$をすべて求めよ。
数列$\{F_n\}$と数列$\{L_n\}$をそれぞれ次のように定義する。
$F_1=1$、$F_2=1$、$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$（$n=1,2,\cdots$）
$L_1=1$、$L_2=3$、$L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$（$n=1,2,\cdots$）
このとき、座標平面上に次の条件(＊)を満たすような二次曲線$C$が存在することを示せ。
(＊)：点$(F_k, L_k)$が$C$上に存在するような自然数$k$が無数に存在する。
《問題#92》
$F_1=F_2=1$、漸化式$$F_{n+2}=\dfrac{{F_{n+1}}^2+(-1)^{n+1}}{F_{n}} \quad (n=1,2,...)$$で定まる数列$\{F_n\}$（$n=1,2,...$）について、以下の問いに答えよ。
（１）任意の正の整数$n$について、等式 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ が成り立つことを示せ。
（２）任意の正の整数$m$、$n$（ただし $n \geq 2$ とする）について、次の等式$(\ast)$が成立することを$n$に関する数学的帰納法を用いて示せ。$$(\ast): F_{m+n}=F_{m}F_{n-1} +F_{m+1}F_{n}$$
（３）任意の正の整数$n$について、$n$がある正の整数$m$で割り切れるならば$F_{n}$は$F_{m}$で割り切れることを示せ。
（４）$(F_{2023})^2$を$89$で割ったときの余りを求めよ。